πολύεδρο

Κάθε σχήμα του χώρου, που περατώνεται σε επίπεδα πολύγωνα. Κάθε τέτοιο πολύγωνο λέμε ότι είναι μια έδρα του π. Κάθε κορυφή και κάθε πλευρά έδρας λέμε αντίστοιχα ότι είναι κορυφή και ακμή του π. Ο αριθμός των εδρών κάθε π. είναι μεγαλύτερος ή ίσος του 4. Π. με 4, 5, 6,..., ν έδρες ονομάζεται: τετράεδρο, πεντάεδρο, εξάεδρο, ..., ν-εδρο. Κάθε κορυφή π. είναι κορυφή μιας στερεάς του γωνίας και κάθε ακμή του είναι ακμή μιας δίεδρης γωνίας του. Ένα π. λέμε ότι είναι κυρτό, εάν (και μόνο) βρίσκεται ολόκληρο στο αυτό μέρος του χώρου ως προς το επίπεδο της κάθε έδρας του (πράγμα ισοδύναμο με το ότι κάθε επίπεδη τομή του είναι κυρτό πολύγωνο), αλλιώς λέμε ότι είναι μη κυρτό. Το πρίσμα, το παραλληλεπίπεδο, ο κύβος, η πυραμίδα είναι κυρτά π. Αν Ε, Κ, Α δηλώνουν, αντίστοιχα, τους αριθμούς των εδρών, κορυφών, ακμών κυρτού π., τότε ισχύει η εξής πρόταση των Όιλερ-Ντεκάρτ: K+E = A+2. Ένα π. λέμε ότι είναι κανονικό, αν (και μόνο) οι έδρες του είναι κανονικά πολύγωνα ίσα μεταξύ τους. Για κάθε κυρτό κανονικό π. υπάρχει ένα, μοναδικό, σημείο του χώρου (εσωτερικό στο π.), που ισαπέχει από τις κορυφές του και συγχρόνως ισαπέχει από τις έδρες του. Το σημείο αυτό είναι το κοινό κέντρο της περιγεγραμμένης και της εγγεγραμμένης σφαίρας του π. και ονομάζεται: το κέντρο του π. Υπάρχουν πέντε τύποι κυρτών κανονικών π., οι επόμενοι: 1) το κανονικό τετράεδρο: έχει 4 έδρες, ισόπλευρα τρίγωνα, 6 ακμές, 4 κορυφές. Οι 4 στερεές του γωνίες είναι κανονικές τρίεδρες (οι έδρικές τους γωνίες είναι 60° η κάθε μια). Αν α είναι το κοινό μήκος των ακμών κανονικού τετράεδρου, R η ακτίνα της περιγεγραμμένης του σφαίρας, ρ της εγγεγραμμένης, Ε το εμβαδόν της επιφάνειας του και V ο όγκος του, τότε είναι: R = α√6/4, ρ =α√6/12, Ε= α2 √3, V= α3√2/12 2) ο κύβος (κανονικό εξάεδρο): έχει 6 έδρες, τετράγωνα, 8 κορυφές, 12 ακμές. Οι 6 στερεές του γωνίες είναι τρισορθογώνιες. Έχει 4 «διαγώνιες», ίσες μεταξύ τους, που περνούν από το αυτό σημείο (το «κέντρο» του κύβου). Αν α είναι το μήκος της ακμής ενός κύβου (κοινό για όλες τις ακμές), δ το μήκος μιας από τις διαγώνιές του, Ε το εμβαδόν της επιφάνειας του και V ο όγκος του, τότε είναι: δ = α¥5, Ε = 6α2, V = α3. Αν R, ρ είναι αντίστοιχα οι ακτίνες της περιγεγραμμένης και της εγγεγραμμένης σφαίρας του κύβου, τότε είναι: R = α√3/2, ρ = α/2 3) το κανονικό οκτάεδρο: έχει 8 έδρες, ισόπλευρα τρίγωνα, 6 κορυφές, 12 ακμές. Οι στερεές του γωνίες είναι κανονικές τετράεδρες γωνίες. Αν α είναι το μήκος της ακμής του κανονικού οκτάεδρου, τότε (με την αυτή, όπως πιο πάνω, σημασία για τα σύμβολα R, ρ, Ε, V) είναι: R = α√3/2, ρ = α√6/6, Ε= 2α2 √3, V= α3√2/3 4) το κανονικό δωδεκάεδρο: έχει 12 έδρες, κανονικά πεντάγωνα, 20 κορυφές, 30 ακμές. Αν α είναι το μήκος της ακμής κανονικού δωδεκάεδρου, τότε (με την αυτή, όπως πριν, σημασία για τα σύμβολα: R, ρ, Ε, V) είναι: R = α√3+(1√5)/4, ρ = α/2√25+11√5 Ε = 15 α2√5+2√5/5, V =5/2 α3 √47+2+√5/10 5) το κανονικό εικοσάεδρο: έχει 20 έδρες, ισόπλευρα τρίγωνα, 12 κορυφές, 30 ακμές. Οι στερεές του γωνίες είναι πενταεδρικές. Αν α είναι το μήκος της ακμής εικοσαέδρου, τότε (με την αυτή, όπως πριν, σημασία για τα σύμβολα R, ρ, Ε, V) είναι: R = α/4√10+2√5, ρ = α/12√42+18√5 Ε = 5 α2√3, V =5 α3 /12(3+√5) Αν θεωρήσουμε την περιγεγραμμένη σφαίρα κανονικού οκτάεδρου, τότε τα εφαπτόμενα της επίπεδα στις κορυφές του (που, όπως είδαμε, είναι 20) ορίζουν κανονικό εικοσάεδρο. Τα κανονικά π. ονομάζονται και πλατωνικά (γιατί γίνεται λόγος γι’ αυτά στους Διαλόγους του Πλάτωνα). Ένα π. ονομάζεται ημικανονικό ή αρχιμήδειο, εάν (και μόνο) οι έδρες του είναι κανονικά πολύγωνα, όχι όμως όλα με τον αυτό αριθμό πλευρών, και οι στερεές του γωνίες ίσες μεταξύ τους, όχι όμως κανονικές. Τα π. αυτού του είδους καθόρισε ο Αρχιμήδης.